Một số loại distance quan trọng (1)

1. Wassertein distance

Dùng để đo độ lệch giữa 2 distribution. Trong Optimal Transport thì đây là minimal cost function khi chuyển từ distribution này sang distribution kia. Dùng Wassertein distance có thể so sánh rồi characterize một tập hợp các distribution – ví dụ style của họa sĩ, văn phong của nhà văn, mô hình dân số của quốc gia.

2. Hausdorff distance

Dùng để đo xem 2 tập con của một không gian metric xa nhau đến thế nào. Hausdorff distance là khoảng cách xa nhất có thể giữa 1 điểm thuộc tập con này tới tập con còn lại. Nhờ trang bị được một distance như thế này mà tập hợp các tập con của 1 không gian metric hình thành một không gian metric khác.

3. Gromov Hausdorff distance

Là một mở rộng của Hausdorff distance nhưng dùng để đo xem 2 không gian metric lệch khỏi trạng thái isometric (tồn tại một hàm số bảo toàn khoảng cách f: d(f(x),f(y)) = d(x,y) với mọi x,y) với nhau như thế nào. Vì thế mà nó biến các không gian metric thành 1 không gian metric to hơn (trang bị GH-distance này) và đưa ra được khái niệm về limit với 1 dãy không gian metric – 1 khái niệm quan trọng trong xác suất và hình học hiện đại. Ngoài ra việc tối giản GH-distance cũng là một mục tiêu của manifold learning trong bài toán giảm chiều dữ liệu.

4. L1-distance: còn gọi là Manhattan distance hay taxicab distance hay đường đi quân xe, đo độ dài hai điểm theo chiều di chuyển tương tự của con xe trong cờ vua (chỉ dọc hoặc ngang). Thay đổi theo phép quay (rotation) nhưng không thay đổi theo phép tịnh tiến (translation) hoặc phép chiếu qua gương (reflection). Đặc biệt thi tính toán L1-distance giữa 2 vector thì tất cả các thành phần của vector được đánh giá tương đương nhau (weight equally).

300px-Manhattan_distance.svg.png

5. L2-distance: tức Euclidean distance và chính là cái đường chim bay trong truyền thuyết đấy. Nó chính là độ dài đoạn thẳng ngắn nhất nối 2 điểm trong không gian.

ダウンロード.png

L2-distance bất biến với phép quay, phép tịnh tiến và phép chiếu. Ngoài ra L2-distance giữa 2 vector là mean square nên các thành phần có độ lệch lớn sẽ chiếm vai trò quan trọng hơn khi đánh giá (weight inequally) so với sự bình đẳng của L1-distance. Tuy nhiên biến thiên của L2-distance ổn định hơn so với L1-distance vì đạo hàm của nó là hàm bậc nhất.

Spacetime from Differential Geometry Viewpoint: Tổng quan

Tham khảo Wikipedia + các nghiên cứu xuất phát từ Gauss, Minkowski, Poincare, Riemann, Hilbert,…

Vì sao lại là spacetime? Vì đó là thứ khiến giới khoa học quan tâm đến tầm quan trọng của hình học vi phân và curvature.

Spacetime là mô hình hình học 4 chiều với 3 chiều không gian mà con người quan sát trực quan được cùng với một chiều thời gian. Các đồ hình space time được dùng để mô tả các hiệu ứng tương đối ví dụ như vì sao có sự khác biệt về thời điểm và vị trí của một sự kiện với những quan sát khác nhau.

Cho đến những năm đầu thế kỷ 20 người ta vẫn sử dụng giả thiết rằng mô hình hình học 3 chiều của vũ trụ độc lập với không gian một chiều của dòng thời gian. Tuy nhiên Einstein đã đưa ra Thuyết tương đối hẹp dựa trên 2 định đề quan trọng.
a. Các định luật vật lý là bất biến (tương đồng) trên các hệ thống phi quán tính (tức là không có sự xuất hiện của gia tốc)
b. Tốc độ ánh sáng trong chân không là như nhau đối với tất cả các quan sát, bất kể chuyển động của nguồn sáng.

Hệ quả tất yếu của việc đưa ra 2 định đề này là sự khẳng định mối quan hệ không thể tách rời của 4 chiều không gian (trước đó vốn được coi là độc lập) của spacetime. Các hệ quả đảo lộn các kết quả truyền thống xuất hiện: bên cạnh việc không phụ thuộc vào chuyển động của nguồn sáng thì vận tốc ánh sáng sẽ được giữ nguyên và không phụ thuộc vào cách đo, khoảng cách và cả thứ tự xảy ra các sự kiện sẽ bị thay đổi tuỳ theo hệ quy chiếu (sự tương đối về tính đồng thời) cũng như tính tuyến tính của vector vận tốc không còn nữa. Điều này dẫn tới việc bắt buộc phải xây dựng các mô hình hình học trên các nonlinear manifold -> Sự ra đời tất yếu của hình học giả-Riemann, trong đó tiêu biểu là đa tạp Finsler.

Einstein xây dựng hệ thống lý thuyết của mình dựa trên động lực học (nghiên cứu về chuyển động của các chất điểm). Lý thuyết của ông đã vượt qua các rào cản trong các lý thuyết về trường điện từ của Lorentz và điện động lực học của Henri Poincare. Dù các công trình này có bao hàm các công thức tương tự như những gì Einstein giới thiệu, nó vốn là những mô hình được thiết kế riêng biệt để giải thích kết quả của các thí nghiệm quan trọng mà quá khó để giải thích với các mô hình vật lý lúc đó (ví dụ như thí nghiệm giao thoa của Michelson).

Năm 1908, Hermann Minkowski (bố già của các bố già trong ngành hình học vi phân và giải tích hàm, thầy của Einstein ở Zurcich) đã đưa ra một giải thích hình học cho thuyết tương đối hẹp bằng cách hợp nhất 3 chiều spatial (dich là không gian lại trùng với space) với chiều thời gian thành một 1 không gian 4 chiều được gọi là Minkowski space. Điểm nhấn trong giải thích này là định nghĩa chính thức cho khái niệm “khoảng không-thời gian” (space time interval). Mặc dù việc đo lường khoảng cách và thời gian giữa các sự kiện khác biệt tuỳ theo hệ quy chiếu nhưng khoảng không-thời gian không phụ thuộc vào hệ quy chiếu mà chúng được quan sát.

Giải thích hình học của Minkowski về thuyết tương đối là công cụ quan trọng để chứng minh cho Thuyết tương đối rộng của Einstein năm 1915, trong đó ông cho thấy khối lượng và năng lượng sẽ uốn cong một spacetime phẳng thành một đa tạp giả-Riemann như thế nào.